Question

如图，已知四棱锥P--ABC的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e为PC的中点，F为AD的中点．
（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）证明EF⊥平面PBC；
（III）点M是四边形ABCD内的一动点，PM与平面ABCD所成的角始终为45°，求动直线PM所形成的曲面与平面ABCD、平面PAB、平面PAD所围成几何体的体积．

Answer

（I）线段PB的中点为G，连接EG，AG，由三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，我们易得到EF∥AG，结合线面平行的判定定理，我们易得到EF∥平面PAB；
（II）根据已知中PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，及PA=PB，G为AB的中点，结合线面垂直的性质及等腰三角形三线合一，我们易证明AG⊥平面PBC，结合（I）中结论EF∥AG，即可得到结论；
（III）根据点M是四边形ABCD内的一动点，PM与平面ABCD所成的角始终为45°，我们根据旋转体的定义判断出动直线PM所形成的曲面与平面ABCD、平面PAB、平面PAD所围成几何体的形状及底面半径、高等几何量，代入圆锥体积公式，即可得到答案．
证明：（I）设线段PB的中点为G，连接EG，AG，
∵E为PC的中点，
∴EG∥BC且EG=BC
又∵F为AD的中点，四边形ABCD为正方形
∴AF∥BC且AF=BC
∴EG∥AF且EG=AF
∴四边形EGAF为平行四边形
∴EF∥AG
又∵EF⊄平面PAB，AG⊂平面PAB
∴EF∥平面PAB；
（II）∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥PA，
又∵BC⊥AB，AB⊂平面PAB，AP⊂平面PAB，AP∩AB=A
∴BC⊥平面PAB
又∵AG⊂平面PAB
∴AG⊥BC
又∵PA=PB，G为AB的中点
∴AG⊥PB
又∵PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B
∴AG⊥平面PBC，
由（I）知EF∥AG
∴EF⊥平面PBC；
【解析】
（III）∵PM与平面ABCD所成的角始终为45°，PA⊥平面ABCD，
∴AM=PA=2，
又∵∠BAD=90°
∴点M的是以A为圆心，2为半径的四分之一圆，
∴动直线PM所形成的曲面与平面ABCD、平面PAD围志的几何是底面半径为2，高为2的四分之一圆锥
∴V==