Question

已知定点A（-l，0），动点B是圆F：（x-1）²+y²=8（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交线段BF于点P．
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）是否存在过点E（0，2）的直线l交动点P的轨迹于点R、T，且满足（O为原点），若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）利用椭圆的定义判断点P的轨迹 是以A、F 为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程．
（II） 设存在满足条件的直线l：y=kx+2，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系以及 ，解方程求出斜率  k，从而求得直线l的方程．
【解析】
（I）由题意得 圆心F（1，0），半径等于2，|PA|=|PB|，
∴|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=半径2＞|AF|，故点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，
2a=2，c=1，∴b=1，∴椭圆的方程为 ．
（II） 设存在满足条件的直线l，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为 y=kx+2，设 R （x1，y1 ），
T（x2，y2），∵，∴x1x2+y1y2=0     ①．
把线l的方程 y=kx+2代入椭圆方程化简可得 （2k2+1）x2+8kx+6=0，∴x1+x2=，
x1x2=，∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，
∴x1x2+y1y2=（k2+1）+2k +4==0，
∴k=  或-．满足△＞0，故存在满足条件的直线l，其方程为 y=± x=2，
即  x-y+2=0，或  x+y-2=0．