Question

如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

AB是圆O的直径，得出三角形ABC是直角三角形，由于PA垂直于圆O所在的平面，得出PA垂直于AC，BC，从而得出两个直角三角形，可以证明BC垂直于平面PAC，从而得出三角形PBC也是直角三角形，从而问题解决．
证明：∵AB是圆O的直径
∴∠ACB=90°即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形
又∵PA⊥圆O所在平面，
∴△PAC，△PAB是直角三角形．
且BC在这个平面内
∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，
∴BC⊥平面PAC，
∴△PBC是直角三角形．
从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是，4．
故选D．