Question

如图：已知平面α∥平面β，点A、B在平面α内，点C、D在β内，直线AB与CD是异面直线，点E、F、G、H分别是线段AC、BC、BD、AD的中点，求证：
（Ⅰ）E、F、G、H四点共面；
（Ⅱ）平面EFGH∥平面β．

Answer

（Ⅰ）根据中位线定理可知EF∥AB，GH∥AB，从而EF∥GH，根据公理可知两平行线确定一平面，则E、F、G、H四点共面；
（Ⅱ）根据平面α∥平面β，点A、B在平面α内，则AB∥平面α，设平面ABC与平面β的交线为CP，根据AB∥平面α，则AB∥CP，又EF∥AB，则EF∥CP，根据线面平行的判定定理可知EF∥平面β，根据中位线定理可知EH∥CD，从而EH∥平面β，最后根据面面平行的判定定理可平面EFGH∥平面β．
证：（Ⅰ）∵点E、F是线段AC、BC的中点，
∴EF∥AB，
又∵G、H是线段BD、AD的中点，∴GH∥AB，
∴EF∥GH，因此：E、F、G、H四点共面；
（Ⅱ）∵平面α∥平面β，点A、B在平面α内，∴AB∥平面α
设平面ABC与平面β的交线为CP，
∵直线AB与CD是异面直线，
∴CP与CD是交线，
∵AB∥平面α，∴AB∥CP，又EF∥AB，
∴EF∥CP，∴EF∥平面β，
∵点E、H是线段AC、AD的中点，
∴EH∥CD，∴EH∥平面β，
因此：平面EFGH∥平面β．