Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=，建立如图所示的坐标系．
（1）确定P、Q的位置，使得B₁Q⊥D₁P；
（2）当B₁Q⊥D₁P时，求二面角C₁-PQ-A的大小．

Answer

（1）设BP=t，求出CQ，DQ，P（2，t，0），利用•=0，解得t=1．推出P、Q分别是棱BC、CD的中点，即P、Q分别是棱BC、CD的中点时，B1Q⊥D1P；
（2）当B1Q⊥D1P时，由（1）知P、Q分别是棱BC、CD的中点．推出AC⊥PQ．设AC与PQ的交点为E，连接C1E．说明∠C1EC是二面角C1-PQ-C的平面角，∠C1EA是二面角C1-PQ-A的平面角．在Rt△C1EC中，求出二面角C1-PQ-A的大小是π-arctan2．
【解析】
（1）设BP=t，则
CQ=，DQ=2-．
∴B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q（2-，2，0），
∴=（，-2，2），=（-2，2-t，2）．
∵B1Q⊥D1P等价于•=0，
即-2-2（2-t）+2×2=0，
整理得=t，解得t=1．
此时，P、Q分别是棱BC、CD的中点，即P、Q分别是棱BC、CD的中点时，
B1Q⊥D1P；

（2）当B1Q⊥D1P时，由（1）知P、Q分别是棱BC、CD的中点．
在正方形ABCD中，PQ∥BD，且AC⊥BD，故AC⊥PQ．
设AC与PQ的交点为E，连接C1E．
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥底面ABCD，CE是C1E在底面ABCD内的射影，∴C1E⊥PQ，
即∠C1EC是二面角C1-PQ-C的平面角，∠C1EA是二面角C1-PQ-A的平面角．
在正方形ABCD中，CE=，
在Rt△C1EC中，tan∠C1EC==2，
∴∠C1EC=arctan2，
∠C1EA=π-arctan2．
∴二面角C1-PQ-A的大小是π-arctan2．