Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，AD=2，E是BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线BB₁∥平面D₁DE；
（Ⅱ）求证：平面A₁AE⊥平面D₁DE；
（Ⅲ）求三棱锥A-A₁DE的体积．

Answer

（I）根据长方体的几何特征，我们易得到BB1∥DD1，结合线面平行的判定定理，即可得到直线BB1∥平面D1DE；
（Ⅱ）由已知中长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=1，AD=2，E是BC的中点，利用勾股定理，我们易证明出AE⊥DE，及DD1⊥AE，根据线面垂直的判定定理，可得AE⊥平面D1DE，进而由面面垂直的判定定理得到平面A1AE⊥平面D1DE；
（Ⅲ）三棱锥A-A1DE可看作由AA1为高，以三角形ADE为底面的棱锥，分别求出棱锥的高和底面面积，代入棱锥的体积公式即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1，
又∵BB1⊄平面D1DE，DD1⊆平面D1DE
∴直线BB1∥平面D1DE（4分）
（Ⅱ）证明：在长方形ABCD中，∵AB=AA1=1，AD=2，
∴，
∴AE2+DE2=4=AD2，故AE⊥DE，（6分）
∵在长方形ABCD中有DD1⊥平面ABCD，AE⊆平面ABCD，
∴DD1⊥AE，（7分）
又∵DD1∩DE=D，
∴直线AE⊥平面D1DE，（8分）
而AE⊆平面A1AE，
所以平面A1AE⊥平面D1DE．（10分）
（Ⅲ）==．（14分）．