Question

在如图所示的几何体ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M为
AD的中点．（1）证明：EM⊥AB；（2）求直线BM和平面ADE所成角的正弦值．

Answer

（1）以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，根据 =0，得到 ，从而有 EM⊥AB．
（2）由（1）知  的坐标，求出面ADE的法向量为   的坐标，设直线BM和平面ADE所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞=||．
【解析】
（1）证明：以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设DB=1，则 CE=CA=CB=2．
由于A（2，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，1），M（1，1，），∴=（1，1-），
=（-2，2，0），∴=-2+2+0=0，∴，∴EM⊥AB．
（2）由（1）知 =（1，-1，  ），=（-2，2，1），=（-2，0，2），=（0，-2，1）．
设面ADE的法向量为  =（x，y，z），则  ，即 ，
取 =（2，1，2）设直线BM和平面ADE所成角为θ，则 sinθ=|cos＜，＞=||=．