Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，
（1）若点（n，S_n）均在函数y=f（x）的图象上，且f（x）=3x²-2x，求{a_n}的通项公式；
（2）若a₁=a₂=1，且=λ（0＜λ＜1，n=2，3，4…），证明：＜（常数k∈N^*且k≥3）

Answer

（1）先利用点（n，Sn）均在函数y=f（x）的图象上，且f（x）=3x2-2x，求出数列{an}的前n项和为Sn；再利用已知前n项和求通项公式的方法即可求{an}的通项公式；
（2）先利用=λ求得 =λn-1；再利用叠乘法求得数列{an}的通项公式；代入所求问题整理后再借助于0＜λ＜1以及常数k∈N*且k≥3即可证明结论．
【解析】
（1）由题得：sn=3n2-2n．
故当n=1时，a1=s1=1
当n≥2时，an=sn-sn-1=6n-5
由于当n=1时，6n-5=1也成立
所以an=6n-5
（2）令，由已知有 b1=1，bn=λbn-1
所以{bn}是等比数列，bn=λn-1 即 =λn-1．
∴=
∴an=．
∴==
∴=•[λk+λ2k+…+λnk]
=•（1-λnk）•．
∵0＜λ＜1，k≥3
∴0＜1-λnk＜1，0＜≤1，0＜•（1-λnk）＜1
∴=•（1-λnk）•＜．
即结论成立．