Question

已知a=（x²，x），b=（x，x-3），x∈[-4，4]．
（1）求f（x）=a•b的表达式；
（2）求f（x）的最小值，并求此时a与b的夹角．

Answer

（1）利用向量的数量积法则求出f（x），
（2）令导数为0求出根，列表判断根左右两边的导函数符号，求出极值，比较极值和端点值，求出函数的最值．用向量的数量积的法则求出向量夹角．
【解析】
（1）f（x）=a•b=x2•x+x•（x-3）=x3+x2-3x，x∈[-4，4]．
（2）f'（x）=x2+2x-3=（x+3）（x-1）．
列表：

故当x=1时，f（x）有最小值为-．
此时a=（，1），b=（1，-2）．
设θ为a与b的夹角，则cosθ==-．
又由θ∈[0，π]，得θ=．
答：f（x）=a•b的表达式为x3+x2-3x，x∈[-4，4]．
f（x）的最小值为-，此时a与b的夹角为．