Question

数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2）其中a₃=95
（1）求a₁，a₂的值
（2）若存在一个实数λ使得{}为等差数列求λ的值
（3）求数列{a_n}前n项的和S_n．

Answer

（1）求a1，a2的值，由题设条件，{an}满足an=3an-1+3n-1（n≥2）其中a3=95求解即可
（2）若存在一个实数λ使得{}为等差数列求λ的值可根据等差数列的性质建立方程求参数；
（3）求数列{an}前n项的和Sn．可以由（2）求出数列{an}的通项，再根据其形式先分组，在各组中分别用错位相减法求和，公式求和的技巧求和．
【解析】
（1）由题设条件知a2=3a1+31-1，a3=3a2+33-1=95，解得a1=7，a2=23
（2）若存在一个实数λ使得{}为等差数列，则有+=2×，将a1=7，a2=23，a3=95代入解得λ=-5
（3）由（2）{}为等差数列其首项为，公差为的等差数列，故==，故an=4n×3n-1-2×3n-1+5
令An为数列{4n×3n-1}的前n项和，则Sn=An-2×（3+31+…+3n-1）+5n=An+1-3n+5n
由于An=4×（1×3+2×31+3×32+…+n×3n-1）
3An=4×（1×31+2×32+3×33+…+n×3n）
故-2An=4×（3+31+32+…+3n-1-n×3n）=4×（-n×3n）
An=2×（3n-1）+4×（n×3n）
所以Sn=2×（3n-1）+4×（n×3n）+1-3n+5n