Question

已知函数，
（1）求f（x）的定义域．
（2）证明f（x）为奇函数．
（3）判断f（x）的单调性并证明．
（4）解不等式f（x）＜f（1-x）

Answer

（1）要使函数的解析式有意义，自变量x必须满足使真数部分大于0，即，解分式不等式即可得到f（x）的定义域．
（2）根据已知中函数的解析式，我们可以写出f（-x）的表达式，然后利用对数的运算性质，判断f（-x）与f（x）的关系，即可得到结论；
（3）在区间（-1，1）上任取x1，x2，令-1＜x1＜x2＜1，我们判断利用作差法判断f（x1）-f（x2）的符号，然后根据函数单调性的定义即可得到结论；
（4）根据（3）的结论，我们可将不等式转化为关于x的不等式组-1＜x＜1-x＜1，解不等式组即可得到答案．
【解析】
（1）∵，即-1＜x＜1∴的定义域为（-1，1）（3分）
（2）∵的定义域为（-1，1），在（-1，1）上任取一个自变量x
则
∴f（x）为奇函数．（6分）
（3）在区间（-1，1）上任取x1，x2∴-1＜x1＜x2＜1（17分）（9分）
又0＜1+x1＜1+x2&，0＜1-x2＜1-x1
∴（11分）
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x）为（-1，1）上的增函数（12分）
（4）∵f（x）为（-1，1）上的增函数∴-1＜x＜1-x＜1
解得（14分）