Question

已知函数，其中a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据函数，令logax=t，得x=at，代入函数解析式即可求得f（x）的解析式；（2）利用函数单调性的定义，在R上任取x1＜x2，作差f（x1）-f（x2），因式分解，比较其与零的大小，即可求得结果；（3）由（2）知f（x）在R上是增函数，因为当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，所以f（2）-4=（a2-a-2）-4≤0，
解此不等式即可求得实数a的取值范围．
【解析】
（1）令logax=t，∴x=at，代入得f（t）=（at-a-t）
即f（x）=（ax-a-x），（a＞0且a≠1）．
（2）当a＞1，＞0，f（x）在R上是增函数，x1＜x2，
∴f（x1）-f（x2）=（-）-

∴f（x）在R上是增函数，当0＜a＜1时，同理可证：f（x）在R上是增函数
（3）由（2）知f（x）在R上是增函数，
∴当x∈（-∞，2）时，f（x）＜f（2）=（a2-a-2），
∴f（2）-4=（a2-a-2）-4≤0，
整理得且a＞0且a≠1．
∴a2-4a+1≤0，解得2-≤a≤2，且a≠1，
即[2-，1）∪（1，2]．