Question

已知直线l，m平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α∥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．
其中真命题是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④

Answer

在空间中：①由α∥β，且l⊥α，m⊂β，容易得出l⊥m；②由l⊥m，且l⊥α，m⊂β，不一定有α∥β；
         ③由α∥β，且l⊥α，m⊂β，不能得出l∥m；④由l∥m，且l⊥α，m⊂β，可以得出β⊥α．
【解析】
①是真命题，因为当α∥β，且l⊥α时，有l⊥β，又m⊂β，∴l⊥m；
②是假命题，因为当l⊥m时，由m⊂β，不能得出l⊥β，故不能得α∥β；
③是假命题，因为当α∥β时，由l⊥α，得l⊥β，且m⊂β，∴l⊥m，故l∥m错误；
④是真命题，因为当l∥m时，由l⊥α，得m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β．
所以，正确的命题有①④；
故选C．