设正三棱柱底面正三角形的边长为a,当球外切于正三棱柱时,球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的边心距,求出正三棱柱的高为,当球外接正三棱柱时,球的球心是正三棱柱中心高线的中点,且球的球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥,求出外接球的半径,即可求出内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比.
【解析】
设正三棱柱底面正三角形的边长为a,其内切球的半径为R
当球外切于正三棱柱时,球的半径R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到对边的距离即R=,到相对棱的距离是
又正三棱柱的高是其内切球半径的2倍,故正三棱柱的高为 ,
球外接正三棱柱时,球的球心是正三棱柱高的中点,且球的球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥,顶点在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到顶点的距离 ,棱锥的高为
故正三棱锥外接球的半径满足 =,
三棱柱的表面积为:=
∴内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比4(π):(4π):=R2:R22=1:5:.
故答案为:5;.