Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-3n．
（1）求数列{a_n}的首项a₁与递推关系式：a_n+1=f（a_n）；
（2）先阅读下面定理：“若数列{a_n}有递推关系a_n+1=Aa_n+B，其中A、B为常数，且A≠1，B≠0，则数列是以A为公比的等比数列．”请你在第（1）题的基础上应用本定理，求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）令n=1，由S1=2a1-3，知a1=3，再由Sn+1=2an+1-3（n+1），Sn=2an-3n，知an+1=2an+1-2an-3，由此能求出an+1=2an+3．
（2）按照定理：A=2，B=3，{an+3}是公比为2的等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．
（3）由an=6•2n-1-3，知Sn=（6-3）+（6×2-3）+（6×3-3）+…+（6×2n-1-3），由此能求出数列{an}的前n项和Sn．
【解析】
（1）令n=1，S1=2a1-3．∴a1=3
又Sn+1=2an+1-3（n+1），Sn=2an-3n，
两式相减得，an+1=2an+1-2an-3，（3分）
则an+1=2an+3（4分）
（2）按照定理：A=2，B=3，
∴{an+3}是公比为2的等比数列．
则an+3=（a1+3）•2n-1=6•2n-1，∴an=6•2n-1-3．（8分）
（3）∵an=6•2n-1-3，
∴Sn=（6-3）+（6×2-3）+（6×3-3）+…+（6×2n-1-3），
∴．（12分）