Question

如图，在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，A₁A⊥平面ABC，A₁A=AB=AC，AB⊥AC，点D是BC上一点，且AD⊥C₁D．
（1）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（3）求二面角C-AC₁-D大小的余弦值．

Answer

（1）要证明面面垂直，需要先证明线面垂直，找出AD⊥平面BC1，又AD⊂平面ABC，根据面面垂直的判断得到结论．
（2）根据有中点连中点的方法，做出辅助线，得到线与线平行，利用线面平行的判定定理得到结论．
（3）建立坐标系，写出要用的点的坐标，设出平面的法向量，求出这个法向量，另一个平面的法向量可以直接写出，根据两个平面的法向量求出面面夹角的余弦值．
【解析】
（1）证明：依题意，C1C⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC∴C1C⊥AD，…（2分）
又AD⊥C1D，∴C1C∩C1D=C1∴AD⊥平面BC1，又AD⊂平面ABC…（3分）
∴平面ADC1⊥平面BCC1B1…（4分）
（2）证明：连接A1C交AC1于点E，则E是A1C的中点，连接DE．…（5分）
由（1）知AD⊥平面BC1，∴AD⊥BC，∴D是BC中点…（6分）
∴A1B∥DE…（7分）
又∵DE⊂平面ADC1，∵A1B⊄平面ADC1∴A1B∥平面ADC1．…（8分）
（3）如图，建立空间直角坐标系Axyz，设A1A=AB=AC=2，
则A（0，0，0），D（1，1，0），C1（0，2，2）．…（9分）
，，
设平面ADC1的一个法向量为，
则，
即，令x=1，得y=-1，z=1，
∴．
取平面CAC1的一个法向量为，…（11分）
则．
所以二面角C-AC1-D大小的余弦值为．…（13分）