Question

已知函数，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的单调递增区间；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求出a的值．

Answer

（1）将a=1代入f（x）的解析式，求出函数的定义域，求出导函数，令导函数大于0，求出x的范围，写出区间形式，即得到f（x）在定义域上的单调递增区间．
（2）求出函数的导函数，求出导函数的根x=-a，通过讨论根-a与区间[1，e]的关系，分别判断出函数的单调性，求出函数的最小值，列出方程，求出a的值．
【解析】
（1）当a=1时，，其定义域为（0，+∞）

令f'（x）＞0，得x＞-1，又x∈（0，+∞），
所以f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
（2），x∈（0，+∞）
①当a≥-1时，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）min=f（1）=-a，
由，得（舍去）；
②当a≤-e时，f'（x）≤0恒成立，f（x）在[1，e]上单调递减，，
由，得（舍去）；
③当-e＜a＜-1时，令f'（x）=0，得x=-a．
当1＜x＜-a时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上为减函数；
当-a＜x＜e时，f'（x）＞0
∴f（x）在（-a，e）上为增函数．
∴f（x）min=f（-a）=ln（-a）+1，
由，得．
综上所述，．