已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求a的值；（2）试判断f（x）的单调性，...

已知定义域为R的函数 manfen5.com 满分网

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意的t∈[-2，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

（1）由奇函数的定义得到f（-x）=-f（x），解出f（0）=0代入解析式求解即可（2）由（1），任取x1，x2∈R，且x1＜x2，作差，利用定义法证明其单调性；（3）由奇函数的性质将不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立的问题转化为，f（t2-2t）＜f（-2t2+k）对t∈[-2，2]恒成立利用函数的单调性转化为一元二次不等式，整理得到一个一元二次不等式在t∈[-2，2]恒成立，借用二次函数的性质求最值即可．【解析】（1）f（-x）=-f（x）⇒f（0）=0 则（2）f（x）为递增函数任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则 ∵x1＜x2∴ ∴f（x1）＜f（x2），所以f（x）为递增函数（3）f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0对t∈[-2，2]恒成立则f（t2-2t）＜-f（2t2-k）对t∈[-2，2]恒成立因为f（x）为奇函数，即f（-x）=-f（x）则f（t2-2t）＜f（-2t2+k）对t∈[-2，2]恒成立又因为f（x）为递增函数所以t2-2t＜-2t2+k对t∈[-2，2]恒成立即3t2-2t-k＜0对t∈[-2，2]恒成立令u=3t2-2t-k，t∈[-2，2]，当x=-2时，umax=16-k 则16-k＜0，则k＞16

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考点分析：

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