Question

如图所示，点A（1，0）．点R在y轴上运动，T在x轴上，N为动点，且=0，
（1）设动点N的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（2）过点B（-2，0）的直线l与曲线C交于点P、Q，若在曲线C上存在点M，使得△MPQ为以PQ为斜边的直角三角形，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer

（1）设N（x，y），由题得R是TN的中点所以，代入得点N的轨迹曲线C的方程y2=4x
（2）直线l与曲线C交于点P、Q所以直线l的斜率不等于0，设其为x=my-2，代入曲线C的方程y2=4x，△=16m2-32＞0，即m2＞2，因为△MOQ是以PQ为斜边的直角三角形，所以，化简可得8+4mt+t2+16=0关于t的方程t2+4mt+24=0有实根，∴△=16m2-96≥0，又所以．
【解析】
（1）设N（x，y），由知：R是TN的中点，
则
则y2=4x就是点N的轨迹曲线C的方程：
（2）设直线l的方程为x=my-2，代入曲线C的方程y2=4x，
得y2-4my+8=0，此方程有两个不等实根，△=16m2-32＞0，即m2＞2
M在曲线C上，P、Q是直线l与曲线C的交点，设，
则y1+y2=4m，y1y=8，∵△MOQ是以PQ为斜边的直角三角形，
∴
且，
∴，
显然y1-t≠0，y2-t≠0，
∴t为点M的坐标，
∴关于t的方程t2+4mt+24=0有实根，∴△=16m2-96≥0．
∴m2≥6，直线l的斜率，∴k≠0且，∴或