Question

下列关于函数f（x）=（x²-2x）e^x的判断正确的是（ ）
①f（x）＜0的解集是x|0＜x＜2
②是极小值，是极大值
③f（x）有最小值，没有最大值
④f（x）有最大值，没有最小值．
A．①③
B．①②③
C．②④
D．①②④

Answer

令f（x）＜0可解x的范围确定①正确；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②不正确．根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③正确④不正确．从而得到答案．
【解析】
由f（x）＜0⇒（2x-x2）ex＞0⇒2x-x2＞0⇒0＜x＜2，故①正确；
f′（x）=ex（2-x2），由f′（x）=0得x=±，
由f′（x）＜0得x＞或x＜-，
由f′（x）＞0得-＜x＜，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-），（ ，+∞）．单调增区间为（-，）．
∴f（x）的极大值为f（ ），极小值为f（-），故②不正确．
∵x＜-时，f（x）＜0恒成立．
∴f（x）无最小值，但有最大值f（ ）
∴③正确④不正确．．
故选A．