Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G为棱AD、AB、A₁A的中点．
（1）求证：平面EFG∥平面CB₁D₁；
（2）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁；
（3）求异面直线FG、B₁C所成的角．

Answer

（1）连接BD，根据三角形中位线定理，结合正方体的几何特征，我们易得EF∥B1D1，同理可得GE∥B1C，进而根据面面平行的判定定理即可得到平面EFG∥平面CB1D1；
（2）根据正方体的几何特征，我们可得A1A⊥B1D1，A1C1⊥B1D1，进而根据线面垂直的判定定理，可得B1D1⊥平面CAA1C1，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面CAA1C1⊥平面CB1D1；
（3）根据（1）中结论GE∥B1C，我们易得∠EGF即为异面直线FG、B1C所成的角，解三角形GEF即可得到答案．
【解析】
（1）连接BD，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
对角线BD∥B1D1，
又∵E、F为棱AD、AB的中点．
∴EF∥BD
∴EF∥B1D1，
同理可证：GE∥B1C，
又∵EF∩GE=E，B1D1∩B1C=B1，
∴平面EFG∥平面CB1D1；
（2）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
A1A⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，
∴A1A⊥B1D1，
又∵在正方体A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
A1A∩A1C1=A1，
∴B1D1⊥平面CAA1C1，
又∵B1D1⊂平面CB1D1，
∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1；
（3）由（1）得GE∥B1C，
故∠EGF即为异面直线FG、B1C所成的角
由正方体的几何牲易得EF=EG=FG
∴△EGF为等边三角形，∠EGF=60°
即异面直线FG、B1C所成的角为60°