Question

若x、y、z均为实数，且a=x²-2y+，b=y²-2z+，c=z²-2x+，则a、b、c中是否至少有一个大于零？请说明理由．

Answer

由题设条件，本题是一个证明至少什么成立的问题，若从正面来证，则需分成几类，故常采用反证法，a、b、c中至少有一个大于零对立面是没有一个大于0．故可假设三者皆小于等于0推出矛盾来．
【解析】
假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0．
而a+b+c=x2-2y++y2-2z++z2-2x+=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3，
∵π-3＞0，且无论x、y、z为何实数，
（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2≥0，
∴a+b+c＞0．这与a+b+c≤0矛盾．因此，a、b、c中至少有一个大于0．