Question

已知函数
（1）判断函数f（x）的奇偶性
（2）若a=1，证明：f（x）在区间[2，+∞）是增函数．
（3）若f（x）在区间[2，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）判断f（x）的奇偶性可利用f（x）+f（-x）=0证明其为奇函数；
（2）先判断出其在[2，+∞）上是增函数，再利用定义法证明．
（3）任取2≤x1＜x2，要是函数f（x）在x∈[2，+∞）是增函数，必须使f（x1）-f（x2）＜0恒成立，即a＜x1x2恒成立由此即可求得a的取值范围．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称
对于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
故f（x）为奇函数（5分）
（2）
任取2≤x1＜x2，（8分）
∵2≤x1＜x2∴x1x2＞4，x1-x2＜0，（x1x2-1）＞0∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在[2，+∞）是增函数（10分）
（3）任取2≤x1＜x2，（12分）
要是函数f（x）在x∈[2，+∞）是增函数，必须使f（x1）-f（x2）＜0恒成立∵x1-x2＜0，x1x2＞4，
即a＜x1x2恒成立（14分）
又∵x1+x2＞4，x1x2＞4∴a的取值范围是（-∞，4]（16分）