Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，
（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？

Answer

（1）f（-1）=0⇒a-b+1=0，又值域为[0，+∞）即最小值为0⇒4a-b2=0，求出f（x）的表达式再求F（x）的表达式即可；
（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．
（3）f（x）为偶函数⇒对称轴为0⇒b=0，把F（m）+F（n）转化为f（m）-f（n）=a（m2-n2）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0来判断即可．
【解析】
（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0①（1分）
又函数f（x）的值域为[0，+∞），所以a≠0
且由知即4a-b2=0②
由①②得a=1，b=2（3分）
∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．
∴（5分）
（2）由（1）有g（x）=f（x）-kx=x2+2x+1-kx=x2+（2-k）x+1=，（7分）
当或时，
即k≥6或k≤-2时，g（x）是具有单调性．（9分）
（3）∵f（x）是偶函数
∴f（x）=ax2+1，∴，（11分）
∵m＞0，n＜0，设m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0，
∴|m|＞|-n|（13分）
∴F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am2+1）-an2-1=a（m2-n2）＞0，
∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）