Question

已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的，
（Ⅰ）求展开后所有项系数之和及所有项的二项式系数之和；
（Ⅱ）求展开式中的有理项．

Answer

（Ⅰ） 由题意可得 Cnr2r=2 Cnr-12r-1，且 Cnr2r=，利用二项式系数的性质求出n值．
（Ⅱ）由展开式中的通项  Tk+1=C7K•2K•，k∈z，可知，故当 k=0，3，6时的项为有理项．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得 Cnr2r=2 Cnr-12r-1，且 Cnr2r=，
解得 n=7，r=4．  故展开后所有项系数之和为（1+2）7=37，所有项的二项式系数之和为 2n=27．
（Ⅱ）展开式中的通项  Tk+1=C7K•2K•，k∈z，故当 k=0，3，6时的项为有理项，
故有理项为第一项  T1=1，第四项 T4=C73•8x=280x，第七项  T7=C76•26x2=448x2．