Question

求证：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．

Answer

用数学归纳法证明这个不等式，先验证n=2时成立，再假设n=k时成立，证明n=k+1时成立即可
证明：由于|x|＜1，n≥2，n∈N．
当n=2时，（1+x）2+（1-x）2=2+2x2＜4=22，当n=2时成立
假设n=k时成立，即（1+x）k+（1-x）k＜2k成立
当n=k+1时，则：（1+x）k+1+（1-x）k+1=（1+x）k×（1+x）+（1-x）k×（1-x）=（1+x）k+x（1+x）k+（1-x）k-x（1-x）k＜2k+x[（1+x）k-（1-x）k]
=2k+x（2Ck1x+2Ck3x3+…）=2k+（2Ck1+2Ck3+…）=2k+2k=2k+1，
故当n=k+1时，不等式也成立
综上知：（1+x）n+（1-x）n＜2n，其中|x|＜1，n≥2，n∈N成立