Question

如图，正四棱锥中P-ABCD，点E，F分别在棱PA，BC上，且AE=2PE，
（1）问点F在何处时，EF⊥AD？
（2）当EF⊥AD且正三角形PAB的边长为a时，求点F到平面PAB的距离；
（3）在第（2）条件下，求二面角C-PA-B的大小．

Answer

本题利用空间直角坐标系，求出相关向量，利用数量积和距离公式解答．
（1）先作PO⊥平面ABCD，依题意O是正方形ABCD的中心，如图建立空间坐标系．
设AB=a，PO=b，写出点的坐标：，利用向量的数量积即可证得EF⊥AD；
（2）设点F到平面PAB的距离为d．先求得面PAB的法向量，再结合向量的数量积即可求出点F到平面PAB的距离；
（3）设二面角C-AP-B的平面角为θ，先求出平面PAB的法向量为和平面PAC的法向量，最后利用夹角公式即可求得二面角C-PA-B的大小．
【解析】
（1）作PO⊥平面ABCD，依题意O是正方形ABCD的中心，如图建立空间坐标系．
设AB=a，PO=b，．（2分），.．
∴当F为BC的三等分点（靠近B）时，有EF⊥AD..（4分）
（2）设点F到平面PAB的距离为d.，，，，设面PAB的法向量为
∴，（6分）
∴．（8分）
（3）设二面角C-AP-B的平面角为θ，平面PAB的法向量为．
设平面PAC的法向量为，∴．（10分）
∴．∴．（12分）