Question

已知．
（I）若过函数f（x）图象上一点P（1，t）的切线与直线x-2y+b=0垂直，求t的值；
（II）若函数f（x）在（-1，1）内是减函数，求a的取值范围．

Answer

（1）求出导函数，求出导函数在x=1处的值，即切线的斜率，利用两直线垂直斜率之积为-1，列出方程求出a的值．
（2）令导函数在（-1，1）上的值小于等于0恒成立，解决二次不等式恒成立结合二次函数的图象，令区间两个端点的值小于等于0．
【解析】
（1）∵，∴f'（x）=2x2-4ax-3．
则过P（1，t）的切线斜率为k=f′（1）=-1-4a．（2分）
又∵它与直线x-2y+b=0垂直，∴-1-4a=-2，即，．（4分）
∴又∵P（1，t）在f（x）的图象上，∴t=（6分）
（2）∵函数f（x）在（-1，1）内是减函数
∴f'（x）=2x2-4ax-3≤0对于一切x∈（-1，1）恒成立．（8分）
∵二次函数f'（x）的图象开口向上，
∴（10分）
∴（12分）