Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，椭圆C任意一点P到两个焦点和的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过（0，-2）的直线l与椭圆C交于A、B两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer

（1）根据椭圆的定义，知 a=2，，则．由此能求出动点M的轨迹方程．
（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx-2，设C（x1，y1），D（x2，y2），由，知x1x2+y1y2=0，由y1=kx1-2，y2=kx2-2，知y1y2=k2x1x2-2k（x1+x2）+4，由此入手能够求出直线l的方程．
【解析】
（1）根据椭圆的定义，知 a=2，，则． …（2分）
所以动点M的轨迹方程为． …（4分）
（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx-2，设C（x1，y1），D（x2，y2），∵，∴x1x2+y1y2=0，∵y1=kx1-2，y2=kx2-2，∴y1y2=k2x1x2-2k（x1+x2）+4，
∴（1+k2）x1x2-2k（x1+x2）+4=0．①
由方程组
得（1+4k2）x2-16kx+12=0．
则，，
代入①，得，
即k2=4，解得k=2或k=-2，
∴直线l的方程是y=2x-2或y=-2x-2．