Question

在直角梯形PBCD中，，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如下左图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，M，N分别是线段AB，BC的中点，如右图．
（1）求证：SA⊥平面ABCD；
（2）求证：平面AEC∥平面SMN．

Answer

（1）由已知中直角梯形PBCD中，，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，可得BA⊥PD，ABCD为正方形，进而得到SB⊥BC，AB⊥BC，故BC⊥平面SAB，由线面垂直的定义，可得BC⊥SA，又SA⊥AB，结合线面垂直的判定定理，可得SA⊥平面ABCD；
（2）连接BD，设BD∩MN=G，BD∩AC=O，连接SG，EO，利用三角形中位线定理，我们易得MN∥AC，EO∥SG，结合面面平行的判定定理，即可得到平面AEC∥平面SMN．
证明：（1）由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，
所以在图中，SA⊥AB，SA=2，
四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为SB⊥BC，AB⊥BC，
所以BC⊥平面SAB，（3分）
又SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，
所以SA⊥平面ABCD，（6分）
（2）连接BD，设BD∩MN=G，BD∩AC=O，连接SG，EO，
正方形ABCD中，因为M，N分别是线段AB，BC的中点，所以MN∥AC，
且DO=2OG，（9分）
又SE=SD，所以：DE=2SE，所以EO∥SG，
所以平面SMN∥平面EAC．（12分）