Question

从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点F₁，M是椭圆的右顶点，N是椭圆的上顶点，且．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）若过右焦点F₂且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，点A关于x轴的对称点为A₁，直线A₁B与x轴交于点R（4，0），求椭圆C的方程．

Answer

（1）令x=-c，得，所以点P的坐标为（-c，），由得到离心率．
（2）设直线l的方程为：x=my+c，（m≠0），与椭圆方程，联立得到（m2+2）y2+2mcy-c2=0y2+2mcy-c2=0．记A（x1，y1），B（x2，y2），再由韦达定理结合题设条件能够求出所求椭圆方程．
【解析】
（1）令x=-c，得，所以点P的坐标为（-c，），（2分）
由得到：，（4分）
所以b=c，a2=2c2，即离心率（6分）
（2）设直线l的方程为：x=my+c，（m≠0），与椭圆方程，
联立得到：（m2+2）y2+2mcy-c2=0y2+2mcy-c2=0．（8分）
记A（x1，y1），B（x2，y2），
则，（9分）
由A关于x轴的对称点为A1，得A1（x1，-y1），
则直线A1B的方程是：，过点R（4，0）得到：
y1（my2-my1）=4（y2+y1）-（my1+c）（y2+y1）（10分）
即：2my1y2=（4-c）（y1+y2）
所以：，
得到：c=4-c，所以：c=2（12分）
所以所求椭圆方程为：．（13分）