Question

已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，．
（1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数；
（3）要使方程f（x）=x+b，在[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．

Answer

（1）定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）=0，及x∈（-1，0）时f（x）的解析式，x=-1和1时，同时结合奇偶性和单调性求解．
（2）用定义法证明函数的单调性，作差，变形，判号，得出结论四步，
（3）将b表示为x的函数，利用单调性求f（x）-x在[-1，1]上值域，即可求得实数b的取值范围．
【解析】
（1）当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=
由f（0）=f（-0）=-f（0），
∴在区间[-1，1]上，有f（x）=，
（2）证明当x∈（0，1]时，f（x）=，设0＜x1＜x2＜1，
则f（x1）-f（x2）=
∵0＜x1＜x2＜1，∴＞0，-1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）在（0，1）上单调递减；
（3）f（x）=x+b在[-1，1]上有实数解，转化为b=f（x）-x，
f（x）-x在[-1，0），（0，1]上单调递减；
∴f（x）-x的值域为 ，
∴实数b的取值范围为．