Question

已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先将函数进行配方得到对称轴，判定出函数f（x）在[1，a]上的单调性，然后根据定义域和值域均为[1，a]建立方程组，解之即可；
（2）将a与2进行比较，将条件“对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4”转化成对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有f（x）max-f（x）min≤4恒成立即可．
【解析】
（1）∵f（x）=（x-a）2+5-a2（a＞1），
∴f（x）在[1，a]上是减函数，又定义域和值域均为[1，a]，
∴，
即，解得a=2．
（2）若a≥2，又x=a∈[1，a+1]，且，（a+1）-a≤a-1
∴f（x）max=f（1）=6-2a，f（x）min=f（a）=5-a2．
∵对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，
∴f（x）max-f（x）min≤4，即（6-2a）-（5-a2）≤4，解得-1≤a≤3，
又a≥2，∴2≤a≤3．
若1＜a＜2，fmax（x）=f（a+1）=6-a2，f（x）min=f（a）=5-a2，
f（x）max-f（x）min≤4显然成立，综上1＜a≤3．