Question

已知幂函数f（x）=x^α的图象经过点A（）．
（1）求实数α的值；
（2）求证：f（x）在区间（0，+∞）内是减函数．

Answer

（1）由于已知函数为幂函数，我们可以使用待定系数法进行求解，设出幂函数的解析式，再由幂函数的图象经过点A（，），构造关于a的方程，解方程即可得到实数α的值；
（2）根据（1）中所求的函数的解析式，我们求出函数的导函数的解析式，分析x∈（0，+∞）时，导函数值的符号，即可得到结论．
【解析】
（1）设幂函数的解析式为y=xa，
又∵幂函数的图象经过点A（，）．
∴=a，
解得a=-
（2）由（1）得，
则
当x∈（0，+∞）时，y′＜0恒成立
故f（x）在区间（0，+∞）内是减函数．