Question

已知f（x）=ax³+3x²-x+1，a∈R．
（Ⅰ）当a=-3时，求证：f（x）=在R上是减函数；
（Ⅱ）如果对∀x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）把a=-3代入函数解析式中确定出f（x）的解析式，求出f（x）的导函数，配方可知导函数恒小于等于0，进而得到f（x）在R上为减函数；
（Ⅱ）求出f（x）的导函数，把求出的导函数代入到已知的不等式中，移项使不等式的右边为0，左边为一个二次函数，讨论a≥0时，不等式显然不恒成立；a＜0时，不等式要恒成立，根的判别式△≤0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当a=-3时，f（x）=-3x3+3x2-x+1，
∵f′（x）=-9x2+6x-1=-（3x-1）2≤0，
∴f（x）在R上是减函数；
（Ⅱ）∵∀x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，
即∀x∈R不等式3ax2+6x-1≤4x恒成立，
∴∀x∈R不等式3ax2+2x-1≤0恒成立，
当a≥0时，∀x∈R，3ax2+2x-1≤0不恒成立，
当a＜0时，∀x∈R不等式3ax2+2x-1≤0恒成立，
即△=4+12a≤0，
∴a≤-．