Question

抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上．
（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（2）若直线AB与x 轴交于点M（x，0），且y₁•y₂=-4，求证：点M的坐标为（1，0）．

Answer

（1）由已知可设抛物线方程为y2=2px．因点P（1，2）在抛物线上，故p=2．由此知所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=-1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．当AB斜率不存在时，y1=-y2=2代入y2=4x，x1=x2=1，M（1，0）；当AB斜率存在时，设AB：y=k（x-x）（k≠0），联立，得M（1，0）．
【解析】
（1）由已知可设抛物线方程为y2=2px．
∵点P（1，2）在抛物线上，∴p=2．
故所求抛物线的方程是y2=4x，（4分）
准线方程是x=-1．（5分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）
①当AB斜率不存在时，y1=-y2=2代入y2=4x∴x1=x2=1，∴M（1，0）（8分）
②当AB斜率存在时，设AB：y=k（x-x）（k≠0），
联立
∴y1•y2=-4x=-4，∴x=1，即M（1，0）（12分）
综上：AB直线与x轴交点M（1，0）．