Question

如图，边长为a的正三角形ABC，PA⊥平面ABC，PA=a，QC⊥平面ABC，QC=，PQ与AC延长线交于F点．
（1）若D为PB中点，证明：QD∥平面ABC；
（2）证明：BF⊥平面PAB．

Answer

（1）取AB中点E，连接DE、CE，根据三角形中位线定理，及PA⊥面ABC，QC⊥面ABC，易证明出四边形DECQ为矩形，则DQ∥CE，由线面平行的判定定理，即可得到答案．
（2）由（1）中PA∥QC，PA=a，QC=，易得到C为AF的中点，根据直角三角形性质，可得BF⊥BA，根据线面垂直的判定中得BF⊥面PAB．
证明：（1）取AB中点E，连接DE，则DEPA，连接CE
∵PA⊥面ABC，QC⊥面ABC，
∴PA∥QC，∴DEQC
∴四边形DECQ为矩形
∴DQ∥CE，CE⊂面ABC，
∴DQ∥面ABC（6分）
（2）∵PA∥QC，且
∴C为AF中点
∴BF⊥BA
∵PA⊥面ABC⇒BF⊥面PAB（11分）
∴BF⊥PA（12分）