Question

已知点是椭圆E：（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由PF1⊥x轴，知F1（-1，0），c=1，F2（1，0），|PF2|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，由此能求出椭圆E的方程．
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得（x1+1，y1-）+（x2+1，y2-）=λ（1，-），所以x1+x2=λ-2，y1+y2=（2-λ），3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，由此得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，AB的斜率k=．设直线AB的方程为y=x+t，与3x2+4y2=12联立消去y并整理得x2+tx+t2-3=0，再由根的判别式和点到直线AB的距离公式知这样的λ不存在．
【解析】
（1）∵PF1⊥x轴，
∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），
|PF2|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，
椭圆E的方程为：；（4分）
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得
（x1+1，y1-）+（x2+1，y2-）=λ（1，-），
所以x1+x2=λ-2，y1+y2=（2-λ）①（5分）
又3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，
两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0②
以①式代入可得AB的斜率k=（8分）
设直线AB的方程为y=x+t，
与3x2+4y2=12联立消去y并整理得x2+tx+t2-3=0，
△=3（4-t2）＞0，t∈（-2，2），x1+x2=-t=λ-2
点M到直线AB的距离为d=，∴（10分）
∵或不合题意．故这样的λ不存在（12分）