Question

如图，设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁，F₂为焦点，离心率e=的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C₂的方程；
（2）当△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数时，求抛物线方程；此时设⊙C₁、⊙C₂…⊙C_n是圆心在y²=4mx（m＞0）上的一系列圆，它们的圆心纵坐标分别为a₁，a₂…a_n，已知a₁=6，a₁＞a₂＞…＞a_n＞0，又⊙C_k（k=1，2，…，n）都与y轴相切，且顺次逐个相邻外切，求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）根据所给的抛物线方程，写出要用的两个点，根据所给的离心率的值，求出椭圆的字母系数，写出椭圆的方程．
（2）根据题意设出椭圆的方程，把椭圆的方程与抛物线的方程进行联立，得到交点的坐标，根据三角形的三边长度是连续的整数，求出m的值，后面是求解数列的通项的问题，对于递推式的整理是本题的重点，得到结果．
【解析】
（1）当m=1时，y2=4x，则F1（-1，0），F2（1，0）
设椭圆方程为
则c=1又e=
∴a=2，b=
∴椭圆C2方程为
（2）因为c=m，e=，
∴a=2m，b2=3m2，设椭圆方程为
由椭圆的方程与y2=4mx，得3x2+16mx-12m2=0
即（x+6m）（3x-2m）=0，得
代入抛物线方程得
P（）
|PF2|=x1+m=，|PF1|=2a-=，|F1F2|=2m=，
∵△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，
∴m=3
此时抛物线方程为y2=12x
设，则由题|CnCn-1|=rn+rn-1
∴
∴
∴
∴
∴
即是以为公差，首项的等差数列
∴
∴