Question

已知函数f（x）=4-x²
（1）试判断函数f（x）的奇偶性，并证明函数f（x）在[0，+∞）是减函数；
（2）解不等式f（x）≥3x．

Answer

（1）先求出函数的定义域，求出f（-x），判断出f（-x）与f（x）的关系，利用奇函数偶函数的定义判断出f（x）的奇偶性；设出定义域中的两个自变量，求出两个函数值的差，将差变形，判断出差的符号，据函数单调性的定义判断出函数的单调性．
（2）写出二次不等式，求出二次方程对应的根，据二次不等式解集的形式求出解集．
【解析】
（1）f（x）的定义域为R，
又∵f（-x）=[4-（-x）2]=4-x2=f（x），
∴f（x）在R内是偶函数．
设x1，x2∈R，0＜x1＜x2
∵f（x1）-f（x2）=（4-x12）-（4-x22）=x22-x12=（x2+x1）（x2-x1）
又x1，x2∈R，0＜x1＜x2，
∴（x2+x1）＞0，（x2-x1）＞0
∵f（x1）-f（x2）＞o
所以函数f（x）在[0，+∞）是减函数；
（2）依题意，得4-x2≥3x，
x2+3x-4≤0，
∴-4≤x≤1，
所以不等式f（x）≥3x的解集为{x|-4≤x≤1