Question

己知函数，
（Ⅰ）证明函数f（x）是R上的增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．
（Ⅲ）令．判定函数g（x）的奇偶性，并证明．

Answer

（Ⅰ）先对函数作适当变形，再利用定义证明，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形，与零比较，由定义得到结论．
（Ⅱ）利用有界法求解，将函数看作方程，解得 ，再由2x＞0，解得y的范围，即为所求．
（Ⅲ）求出函数g（x）的定义域，利用函数奇偶性的定义加以判断即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）设x，x是R内任意两个值，且x1＜x2，则x2-x1＞0
y2-y1=f（x2）-f（x1）=-
==
当x1＜x2时，＜
∴-＞0．又+1＞0，+1＞0
∴y2-y1＞0
∴f（x）是R上的增函数．
（Ⅱ）：（1）∵，又2x＞0，
∴-1＜y＜1
函数f（x）的值域为（-1，1）；
（Ⅲ）由题意知g（x）=•
易知函数g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
g（-x）=•=•=-•=-g（x）
∴函数g（x）为奇函数．