(1)因为x=1时函数取得极值得f(x)=-3-c求出b,然后令导函数=0求出a即可;
(2)解出导函数为0时x的值讨论x的取值范围时导函数的正负决定f(x)的单调区间;
(3)不等式f(x)≥-2c2恒成立即f(x)的极小值≥-2c2,求出c的解集即可.
【解析】
(1)由题意知f(1)=-3-c,因此b-c=-3-c,从而b=-3
又对f(x)求导得=x3(4alnx+a+4b)
由题意f'(1)=0,因此a+4b=0,解得a=12
(2)由(I)知f'(x)=48x3lnx(x>0),令f'(x)=0,解得x=1
当0<x<1时,f'(x)<0,此时f(x)为减函数;
当x>1时,f'(x)>0,此时f(x)为增函数
因此f(x)的单调递减区间为(0,1),而f(x)的单调递增区间为(1,+∞)
(3)由(II)知,f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-3-c,此极小值也是最小值,
要使f(x)≥-2c2(x>0)恒成立,只需-3-c≥-2c2
即2c2-c-3≥0,从而(2c-3)(c+1)≥0,解得或c≤-1
所以c的取值范围为(-∞,-1]∪