在直线y=x-2上是否存在点P，使得经过点P能作出抛物线的两条互相垂直的切线？若...

在直线y=x-2上是否存在点P，使得经过点P能作出抛物线 manfen5.com 满分网

的两条互相垂直的切线？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

假设这样的点P存在，由题意可设点P坐标为P（m，m-2），又设所作的两条切线为PA，PB，其中A，B为切点，且点A，B的坐标分别为：，．因为函数的导函数为y'=x，所以由两切线垂直可得ab=-1，由此能够推导出存在这样的点P，其坐标为．【解析】假设这样的点P存在，由题意可设点P坐标为P（m，m-2），又设所作的两条切线为PA，PB，其中A，B为切点，且点A，B的坐标分别为：，．因为函数的导函数为y'=x，所以由两切线垂直可得ab=-1，且：即，．故a，b是方程x2-2mx+2（m-2）=0的两实数根，从而有：ab=2（m-2）=-1．解得：．所以，存在这样的点P，其坐标为．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等