Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*都有S_n=2a_n-n，
（1）求数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式a_n，并用数学归纳法证明；
（3）求证：对任意n∈N^*都有．

Answer

（1）分别将n=1，2，3代入Sn=2an-n中便可求出数列{an}的前三项a1，a2，a3的值；
（2）先根据（1）中的答案猜想an的通项公式，然后分别讨论n=1和n≥2时an的表达式满足猜想即可证明；
（3）根据（2）中求得的an的通项公式然后写出的表达式即可证明对任意n∈N*都有．
【解析】
（1）令n=1得，S1=2a1-1=a1，故a1=1；
令n=2得，S2=2a2-2=a1+a2=1+a2，故a2=3；
令n=3得，S3=2a3-3=a1+a2+a3=1+3+a3，故a3=7；
（2）由（1）可以猜想an=2n-1，下面用数学归纳法进行证明：
①当n=1时，结论显然成立；
②假设当n=k时结论成立，即ak=2k-1，
从而由已知Sn=2an-n可得：Sk=2ak-k=2（2k-1）-k=2k+1-k-2．
故Sk+1=2k+2-k-3．
∴ak+1=Sk+1-Sk=（2k+2-k-3）-（2k+1-k-2）=2k+1-1．
即，当n=k+1时结论成立．
综合①②可知，猜想an=2n-1成立．即，数列{an}的通项为an=2n-1．
（3）∵an=2n-1，
∴an+1-an=（2n+1-1）-（2n-1）=2n，
∴，
∴对任意n∈N*都有．