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高中数学试题
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,数列{bn}中,b...
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
n
是S
n
与2的等差中项,数列{b
n
}中,b
1
=1,点P(b
n
,b
n+1
)在直线x-y+2=0上.
(1)求a
1
和a
2
的值;
(2)求数列{a
n
},{b
n
}的通项a
n
和b
n
;
(3)设c
n
=a
n
•b
n
,求数列{c
n
}的前n项和T
n
.
(1)先利用an是Sn与2的等差中项把1代入即可求a1,再把2代入即可求a2的值; (2)利用Sn=2an-2,可得Sn-1=2an-1-2,两式作差即可求数列{an}的相邻两项之间的关系,找到规律即可求出通项;对于数列{bn},直接利用点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,代入得数列{bn}是等差数列即可求通项; (3)先把所求结论代入求出数列{cn}的通项,再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和. 【解析】 (1)∵an是Sn与2的等差中项 ∴Sn=2an-2∴a1=S1=2a1-2,解得a1=2 a1+a2=S2=2a2-2,解得a2=4 (2)∵Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2, 又Sn-Sn-1=an,n≥2 ∴an=2an-2an-1, ∵an≠0, ∴=2(n≥2),即数列{an}是等比数列,∵a1=2,∴an=2n ∵点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,∴bn-bn+1+2=0, ∴bn+1-bn=2,即数列{bn}是等差数列,又b1=1,∴bn=2n-1, (3)∵cn=(2n-1)2n ∴Tn=a1b1+a2b2+anbn=1×2+3×22+5×23++(2n-1)2n, ∴2Tn=1×22+3×23++(2n-3)2n+(2n-1)2n+1 因此:-Tn=1×2+(2×22+2×23++2×2n)-(2n-1)2n+1, 即:-Tn=1×2+(23+24++2n+1)-(2n-1)2n+1, ∴Tn=(2n-3)2n+1+6
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考点分析:
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试题属性
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难度:中等
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