Question

已知双曲线的焦点在y轴，实轴长为8，离心率，过双曲线的弦AB被点P（4，2）平分；
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求弦AB所在直线方程；
（3）求直线AB与渐近线所围成三角形的面积．

Answer

（1）双曲线的焦点在y轴，设双曲线的标准方程为．实轴长为8，离心率，由此能求出双曲线的标准方程．
（2）设弦AB所在直线方程为y-2=k（x-4），A，B的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）．，故，，由此能导出弦AB所在直线方程．
（3）等轴双曲线的渐近线方程为y=±x．直线AB与渐近线所围成三角形为直角三角形．又渐近线与弦AB所在直线的交点坐标分别为（6，6），（2，-2），由此能求出直线AB与渐近线所围成三角形的面积．
【解析】
（1）∵双曲线的焦点在y轴，∴设双曲线的标准方程为；
∵实轴长为8，离心率，∴，∴b2=c2-a2=16．
或∵实轴长为8，离心率，
∴双曲线为等轴双曲线，a=b=4．
∴双曲线的标准方程为．
（2）设弦AB所在直线方程为y-2=k（x-4），A，B的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴，；
∴⇒⇒
代入x1+x2=8，y1+y2=4，
得，
∴，
∴，
∴k=2；
所以弦AB所在直线方程为y-2=2（x-4），即2x-y-6=0．
（3）等轴双曲线的渐近线方程为y=±x．
∴直线AB与渐近线所围成三角形为直角三角形．
又渐近线与弦AB所在直线的交点坐标分别为（6，6），（2，-2），
∴直角三角形两条直角边的长度分别为、；
∴直线AB与渐近线所围成三角形的面积．