Question

如图所示，F为双曲线C：的左焦点，双曲线C上的点P_i与P_7-i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|-|P₄F|-|P₅F|-|P₆F|的值是    ．

Answer

首先设右焦点为M，再由点Pi与P7-i（i=1，2，3）关于y轴对称以及双曲线的对称性得出|FP1|=|MP6|，|FP2|=|MP5|，|FP3|=|MP4|，然后根据双曲线的定义得出|MP6|-|P6F|=2a=6，|MP5|-|P5F|=2a=6，|MP4|-|P4F|=2a=6，进而求出结果．
【解析】
设右焦点为M，
∵双曲线C上的点Pi与P7-i（i=1，2，3）关于y轴对称    即P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称
∴|FP1|=|MP6|，|FP2|=|MP5|，|FP3|=|MP4|
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|=（|MP6|-|P6F|）+（|MP5|-|P5F|）+（|MP4|-|P4F|）
根据双曲线的第二定义可知
|MP6|-|P6F|=2a=6，|MP5|-|P5F|=2a=6，|MP4|-|P4F|=2a=6
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|=18
故答案为18．