Question

已知圆C的圆心在直线x-3y=0上，且圆C与x轴相切，若圆C截直线y=x得弦长为，求圆C的方程．

Answer

法一：设出圆的方程，利用已知条件，推出2r2=（a-b）2+14①，r2=b2②，3a-b=0③解出a，b，r即可得到圆的方程．
法二：设出圆的一般方程，利用圆锥条件，求出D、E、F即可得到圆的方程．
法三：设所求圆的圆心为（t，3t），则其半径r=3|t|，方程为（x-t）2+（y-3t）2=9t2，圆心到直线x-y=0的距离为，求出t，解出圆的方程．
【解析】
（方法一）设所求的圆的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，
则圆心（a，b）到直线x-y=0的距离为，∴
即2r2=（a-b）2+14①（2分）
由于所求的圆与x轴相切，∴r2=b2②（4分）
又圆心在直线3x-y=0上，∴3a-b=0③（6分）
联立①②③，解得a=1，b=3，r2=9或a=-1，b=3，r2=9（10分）
故所求的圆的方程是：（x-1）2+（y-3）2=9或（x+1）2+（y+3）2=9（12分）
（方法二）设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，则其圆心为，
半径为，令y=0得x2+Dx+F=0，由圆与x轴相切，
得△=0，即D2=4F④（2分）
又圆心到直线x-y=0的距离为，由已知得，
即（D-E）2+56=2（D2+E2-4F）⑤（4分）
又圆心在直线3x-y=0上，∴3D-E=0⑥（6分）
联立④⑤⑥，解得：D=-1，E=-6，F=1或D=2，E=6，F=1（10分）
故所求圆的方程是x2+y2-2x-6y+1=0或x2+y2+2x+6y+1=0（12分）
（方法三）由题，设所求圆的圆心为（3t，t），则其半径r=3|t|（4分）
方程为（x-t）2+（y-3t）2=9t2，圆心到直线x-y=0的距离为（6分）
∴，解得t=1或t=-1（10分）
故所求的圆的方程是：（x-1）2+（y-3）2=9或（x+1）2+（y+3）2=9（12分）