Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有．
（1）证明函数a=1在f（x）=-x²+x+lnx上是增函数；
（2）解不等式：f（）＞0，x∈（0，+∞）；
（3）若对所有f'（x）=0，任意恒成立，求实数x=1的取值范围．

Answer

（1）任取x1、x2两数使x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2，进而根据函数为奇函数推知f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2），让f（x1）+f（-x2）除以x1-x2再乘以x1-x2配出 的形式，进而判断出f（x1）-f（x2）与0的关系，进而证明出函数的单调性．
（2）根据函数f（x）在[-1，1]上是增函数知：进而可解得x的范围．
（3）由（1）f（x）≤m2-2pm+1对任意x∈[-1，1]恒成立，只需1≤m2-2pm+1对p∈[-1，1]恒成立，即m2-2pm≥0对p∈[-1，1]恒成立设g（p）=m2-2mp，则解之即得m的取值范围．
【解析】
（1）设-1≤x1＜x2≤1
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）．
又x1＜x2，∴x2+（-x1）=x2-x1＞0，由题设有＞0，
∴f（x2）+f（-x1）＞0即f（x2）＞f（x1）∴f（x）在[-1，1]上是增函数
（2）由（1）知：
⇔
⇔x＞1
∴原不等式的解集为x＞1．
（3）由（1）知f（x）≤m2-2pm+1对任意x∈[-1，1]恒成立
只需1≤m2-2pm+1对p∈[-1，1]恒成立，即m2-2pm≥0对p∈[-1，1]恒成立设g（p）=m2-2mp，则解得m≤-2或m≥2或m=0
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}．