Question

已知函数f（x）=x²-4x+（2-a）lnx，（a∈R，a≠0）．
（1）当a=8时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[e，e²]上的最小值．

Answer

（1）把a=8代入，先求定义域，在求导数，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解函数的单调区间．
（2）先求导数，研究函数的极值点、端点的函数值，比较极小值与端点函数值的大小，进而求出最小值．
【解析】
（1）f（x）=x2-4x-6lnx，f'（x）=2x-4-，（2分）
由f'（x）＞0得（x+1）（x-3）＞0，
解得x＞3或x＜-1．
注意到x＞0，所以函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞）．
由f'（x）＜0得（x+1）（x-3）＜0，
解得-1＜x＜3，
注意到x＞0，所以函数f（x）的单调递减区间是（0，3）．
综上所述，函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞），单调递减区间是（0，3）．（6分）
（2）当x∈[e，e2]时，f（x）=x2-4x+（2-a）lnx，
所以f'（x）=2x-4+，
设g（x）=2x2-4x+2-a．
①当a≤0时，有△=16-4×2（2-a）=8a≤0
所以f'（x）≥0，f（x）在[e，e2]上单调递增．
所以f（x）min=f（e）=e2-4e+2-a（8分）
②当a＞0时，△=16-4×2（2-a）=8a＞0，
令f'（x）＞0，即2x2-4x+2-a＞0，解得x＞1+或x＜1-（舍）；
令f'（x）＜0，即2x2-4x+2-a＜0，解得1-＜x＜1+．
1若1+，即a≥2（e2-1）2时，f（x）在区间[e，e2]单调递减，
所以f（x）min=f（e2）=e4-4e2+4-2a．
2若e＜1+，即2（e-1）2＜a＜2（e2-1）2时，f（x）在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以．
3若1+≤e，即0＜a≤2（e-1）2时，f（x）在区间[e，e2]单调递增，
所以f（x）min=f（e）=e2-4e+2-a．（14分）
综上所述，
当a≥2（e2-1）2时，f（x）min=e4-4e2+4-2a；
当2（e-1）2＜a＜2（e2-1）2时，f（x）min=；
当a≤2（e-1）2时，f（x）min=e2-4e+2-a．（16分）